Gauss: foarbylden fan oplossings en bysûndere gefallen

Gauss metoade, ek wol de metoade fan stepwise opheffen fan ûnbekende fariabelen, neamd nei de foaroansteande Dútske wittenskipper KF Gauss, wylst noch yn libben krige de ûnoffisjele titel "Kening fan de wiskunde." Lykwols, dizze metoade is bekend lang foar de berte fan 'e Europeeske beskaving, sels yn' e I ieu. BC. e. Âlde Sineeske wittenskippers hawwe brûkt it yn syn geskriften.

Gauss is in klassyk manier fan oplossen systemen fan strekkende algebraic fergelikingen (Slough). It is ideaal foar in flugge oplossing foar de beheinde omfang matrices.

De metoade sels bestiet út twa setten: foaren en reverse. Direkte fansels neamd de sekwinsje toand SLAE trijehoekige foarm, oftewol nul wearde ûnder de wichtichste diagonaal. Retraction giet it om it konsekwint finding fan fariabelen, de utering fan elke fariabele troch it foarige.

Leare om te passen yn de praktyk, Gauss is krekt genôch om te witten de basisregels fan fermannichfâldigjen, neist en subtraction fan nûmers.

Om omtinken oan de algoritme foar oplossen fan lineêre systemen troch dizze metoade, jouwe wy oan ien foarbyld.

Sa, oplost wurde mei help fan Gauss:

x + 2y + 4z = 3
2x + 6y + 11z = 6
4x-2y-2z = -6

Wy moatte it twadde en tredde linen te ûntdwaan fan de fariabele x. Om dat wy heakjen oan him de earste fermannichfâldige troch -2 en -4, resp. wy krije:

x + 2y + 4z = 3
2y + 3Z = 0
-10y-18z = -18

No de 2e line fermannichfâldigje troch 5 en taheakje wolle oan it tredde:

x + 2y + 4z = 3
2y + 3Z = 0
-3z = -18

Wy brochten ús systeem nei in trijehoekich foarm. No fiere wy út oarsom. Wy begjinne mei de lêste rigel:
-3z = -18,
z = 6.

De twadde line:
2y + 3Z = 0
2y + 18 = 0
2y = -18,
y = -9

De earste line:
x + 2y + 4z = 3
x-18 + 24 = 3
x = 18-24 + 3
x = -3

Substituting de wearden fan 'e fariabelen yn it orizjinele gegevens, wy ferifiearje de correctness fan it beslút.

Dit foarbyld kin oplost wurde in protte fan in oare wiksels, mar it antwurd heart te wêzen deselde.

It sa bart dat de liedende eleminten fan 'e earste rige binne regele mei te lyts wearden. It is net Scary, mar earder complicates de berekkenings. De oplossing is om Gauss mei pivoting op in kollum. Syn essinsje is as folget: De earste line fan de maksimale socht modulo elemint, de kolom dêr't it yn leit, feroaring plakken mei de 1e kolom, dat is ús maksimale elemint wurdt it earste elemint fan 'e wichtichste diagonaal. Neist is in standert berekkening proses. As it nedich is, de proseduere feroaret de kolommen yn guon plakken kin werhelle wurde.

In oare ferzje fan de metoade is de metoade fan Gauss Gauss-Jordaanje.

It wurdt brûkt foar it oplossen fan lineêre systemen plein, doe't de ynverze matrix fan de matriks en rang (oantal Artilleribataljonen linen).

De essinsje fan dizze metoade is dat de oarspronklike systeem wurdt omfoarme troch feroarings yn de identiteit matrix mei in fierdere finding fariabelen.

It algoritme is dat it:

1. It systeem fan fergelikingen is, lykas yn 'e wize fan Gauss, in trijehoekich foarm.

2. Elts line is ûnderferdield yn in spesifike getal op sa'n wize dat de ienheid hat ynskeakele de wichtichste diagonaal.

3. De lêste rigel wurdt fermannichfâldige troch in bepaalde oantal en subtracted út de foarlêste dus as net te krijen op de wichtichste diagonaal 0.

4. Stap 3 wurdt werhelle sequentially foar alle rigen oant úteinlik net foarmje de ienheid matrix.