As it dêrfan ôflaat fan de kosinus útfier

It derivative fan kosinus is te ferlykjen mei de dêrfan ôflaat fan de sine basis fan bewiis - definysje fan de limyt funksje. It is mooglik te brûken oare metoade brûke trigonometric formules foar de oandriuwing fan de sinus en kosinus hoeken. Express iene funksje nei in oar - fia in sine kosinus, sine, en ûnderskieden mei komplekse argumint.

Tink oan it earste foarbyld fan de útfier fan formule (Cos (x)) '

Jou negligible increment Δh argumint x fan y = Cos (x). As de nije wearde fan it argumint x + Δh krijen in nije wearde Cos funksje (x + Δh). Dan increment Δu funksje sil wêze gelyk oan Cos (x + Δx) -Cos (x).
De ferhâlding fan de increment funksje sil wêze sa'n Δh: (Cos (x + Δx) -Cos (x)) / Δh. Draw identiteit transformaasjes ûntstiene yn de numerator fan de fraksje. Recall formule ferskil cosines, it resultaat is in wurk -2Sin (Δh / 2) fermannichfâldige troch Sin (x + Δh / 2). Wy fine de limyt lim privee dit produkt troch Δh doe't Δh benaderjen liedt ta nul. It is bekend dat de earste (neamd opmerklik) limit lim (Sin (Δh / 2) / (Δh / 2)) is lyk oan 1, en beheine -Sin (x + Δh / 2) is lyk -Sin (x) doe't Δx, fersoargje oan nul.
Wy skriuwe it resultaat: it derivative (Cos (x)) 'is - Sin (x).

Guon leaver de twadde metoade fan dy't folgje deselde formule

Bekend fan trigonometry: Cos (x) is gelyk Sin (0,5 · Π-x) allyksa Sin (x) is Cos (0,5 · Π-x). Dan differentiable komplekse funksje - de sinus werom fan in ekstra hoeke (ynstee X kosinus y).
Wy krije it produkt Cos (0,5 · Π-x) · (0,5 · Π-x) ', omdat it dêrfan ôflaat fan de sine kosinus y werom fan x x is. Tagong ta in twadde formule Sin (x) = Cos (0,5 · Π-x) ferfangen de kosinus en de sinus werom, fine dat (0,5 · Π-x) = -1. No we krije -Sin (x).
Sa, nim it dêrfan ôflaat fan de kosinus, wy '= -Sin (x) foar de funksje y = Cos (x).

It derivative fan kosinus squared

In faak brûkte foarbyld wurdt brûkt dêr't it dêrfan ôflaat fan de kosinus. De funksje y = Cos ² (x) kompleks. Wy fine it earste differinsjaaloperator macht funksje mei eksponint 2, dat is 2 · Cos (x), dan wurdt it fermannichfâldige troch de derivative (Cos (x)) ', dat is lyk -Sin (x). Krijen y '= -2 · Cos (x) · Sin (x). Wannear't tapassing Sin formule (2 · x), de sinus werom fan 'e dûbele hoeke, krije de finale Simplified
antwurd y '= -Sin (2 · x)

hyperboalyske funksjes

Tapast op de stúdzje fan in soad technyske dissiplines yn de wiskunde, bygelyks, meitsje it makliker om te berekkenjen integrals, oplossing fan differinsjaaloperator fergelikingen. Se wurde útdrukt yn termen fan trigonometryske mei optochte arguminten, sa hyperbolysk kosinus ch (x) = Cos (i · x) dêr't i - is in imazjinêre ienheid, hyperboalyske sinus SH (x) = Sin (i · x).
Hyperbolysk kosinus wurdt berekkene gewoan.
Tink oan de funksje y ^{= (e x + e -x)} / 2, dit is de hyperbolyske kosinus ch (x). Mei help fan 'e regel fan it finen fan in ôflate de som fan twa útdrukkingen, it weiheljen meastal konstante multiplier (const) foar it teken fan' e derivative. De twadde termyn fan 0,5 · e ^-x - kompleks funksje (syn derivative is -0,5 · e ^-x), 0.5 · f ^x - de earste termyn. (Ch (x)) '= ((e ^x + e ^{- x)} / 2)' kin wurde skreaun oars: (0,5 · e · ^x + 0.5 e ^{- x)} '= 0,5 · e ^x -0,5 · e ^{- x,} omdat de derivative (e ^{- x)} 'is gelyk oan -1, te umnnozhennaya e ^{- x.} It resultaat wie in ferskil, en dit is de hyperbolyske sinus y werom SH (x).
Konklúzje: (ch (x)) '= sh (x).
Rassmitrim in foarbyld fan hoe't it berekkenjen fan it dêrfan ôflaat fan 'e funksje y = ch (x ³ +1).
Troch differinsjaasje regel hyperbolysk kosinus mei komplekse argument y '= SH (x ³ +1) · (x ³ +1)' dêr't (x ³ + 1) = 3 · x ² + 0.
A: It Afgeleide fan dizze funksje is gelyk oan 3 · x ² · SH (x ³ +1).

Derivaten besprutsen funksjes y = ch (x) en y = Cos (x) tabel

By it beslút fan de foarbylden is net nedich eltse kear te ûnderskieden se op it foarnommen skema, brûk de útgong genôch.
Foarbyld. Differinsjearje de funksje y = Cos (x) + Cos ² (-x) -Ch (5 · x).
It is maklik om te bepalen (brûk tabulated gegevens), y '= -Sin (x) + Sin (2 · x) -5 · Sh (x · 5).