Bol Polygons. Definysje fan in konveks mearhoeke. De diagonalen fan in konveks Polygoon

Dy geometryske foarmen binne allegear om ús hinne. Convex polygoanen binne natuerlike, lykas in honeycomb of keunstmjittige (minske makke). Dy sifers wurde brûkt yn it produsearjen fan ferskillende soarten Coatings yn keunst, arsjitektuer, ornaments, ensfh Bol polygoanen hawwe it eigendom dy't harren punten lizze oan de iene kant fan in rjochte line dy't rint troch it pear fan oanswettende hoekpunten fan de geometryske figuer. Der binne oare definysjes. It hjit de bolle mearhoeke, dat wurdt ynrjochte yn ien heal-fleantúch mei respekt foar alle rjochte line mei dêryn ien fan syn kanten.

bol Polygons

Yn de rin fan de legere mjitkunde wurde altyd behannele uterst ienfâldige Polygons. Om begripe de eigenskippen fan de geometryske foarmen dy't jo moatte begripe harren natuer. Om te begjinnen om te begripen dat sletten is eltse line waans doelen binne itselde. En de figuer foarme troch it, kin hawwe in ferskaat oan konfiguraasjes. Polygon hjit ienfâldige sluten polyline waans oanswettende ienheden binne net leit op ien rjochte line. Syn links en knopen binne, respektivelik, de kanten en de toppen fen 'e geometryske figuer. In ienfâldige polyline moat net kruse himsels.

hoekpunten fan de mearhoeke wurde neamd buorlju, foar it gefal se binne de úteinen fan ien fan syn kanten. In geometryske figuer, dat hat in n-th oantal hoekpunten, en sa ûntstie de n-th oantal partijen neamd de n-gon. Itself brutsen line is de grins of contour fan de geometryske figuer. Polygonal fleantúch of platte Polygoon neamd it lêste part fan in fleantúch, harren beheind. Grinzjend kanten fan de geometryske figuer neamd polyline segminten út de no deselde vertex. Se sille net wêze buorlju as se binne basearre op ferskillende hoekpunten fan de mearhoeke.

Oare definysjes fan bol Polygons

Yn legere mjitkunde, binne der ferskate lykweardich yn betsjutting definysjes, wat oanjout wat hjit in konveks mearhoeke. Boppedat, al dy útspraken binne like wier. In konveks Polygon is dyjinge hokker hat:

• elk segment dat ferbynt eltse twa punten binnen is, leit alhiel yn it;

• dêryn lizze al syn diagonalen;

• eltse interieur hoeke net grutter as 180 °.

Polygon altyd ferdielt de fleantúch yn twa dielen. Ien fan har - it beheind (it kin wurde ynsletten yn in sirkel), en de oare - ûnbeheind. It earste hjit 'e binnenste regio, en de twadde - de bûtenste gebiet fan de geometryske figuer. Dat is de krusing fan de mearhoeke (yn oare wurden - de totale komponint) ferskate heal-fleantugen. Sa, elk segment hawwende einen op punten dy't hearre ta in Polygoon hielendal heart by him.

Stomme bol Polygons

Definysje bol Polygon net op wize dat der in protte soarten fan harren. En elk fan harren hat bepaalde kritearia. Sa, de bolle polygoanen, dy't hawwe in ynterne hoeke fan 180 °, oantsjut licht bol. De konveks geometryske figuer dat hat trije berchtoppen, hjit in trijehoek, fjouwer - quadrilateral, fiif - fiifhoeke, ensfh Elk fan 'e bolle n-gons foldocht oan de neikommende wichtige easken: .. N moat wêze gelyk oan of grutter as 3. Elk fan' e trijehoeken is convex. De geometryske figuer fan dit type wêryn alle hoekpunten lizze op in sirkel, neamd de skreau sirkel. Beskreaun bol Polygon wurdt neamd as alle kanten om in sirkel om oanreitsje har. Twa polygoanen wurde neamd gelyk allinnich yn it gefal by it brûken fan it overlay kin wurde kombinearre. Flat Polygon neamd polygonal fleanmasine (in fleantúch stik) dat dizze beheinde geometryske figuer.

Reguliere bol Polygons

Reguliere polygoanen neamd geometryske foarmen mei gelikense Angelen en kanten. Binnen harren is der in stuit 0, dat is deselde ôfstân fan elk fan har hoekpunten. It hjit it sintrum fan de geometryske figuer. Linen ferbynt it sintrum mei de hoekpunten fan de geometryske figuer neamd apothem, en dyjingen dy't ferbine it punt 0 mei de partijen - radii.

Korrekte rjochthoeke - plein. Equilateral triangle hjit equilateral. Foar sokke foarmen is der de folgjende regel: elk konveks Polygoon hoek is 180 ° * (n-2) / n,

dêr't n - tal hoekpunten fan de bolle geometryske figuer.

It gebiet fan in regelmjittige Polygoon wurdt bepaald troch de formule:

S = p * h,

dêr't p is gelyk oan de helte de som fan alle kanten fan de mearhoeke, en h is de lingte apothem.

Eigenskippen bol Polygons

Convex polygoanen hawwe bepaalde eigenskippen. Sa, it segment dat ferbynt eltse twa punten fan in geometryske figuer, needsaaklikerwize leit deryn. bewiis:

Stel dat P - de bolle mearhoeke. Nim twa willekeurige punten, bgl, A en B, dy't hearre ta P. By de hjoeddeiske definysje fan in bolle Polygoon, dizze punten lizze oan ien kant fan 'e rjochte line dy't befettet eltse rjochting R. Dus, AB ek hat dit pân en wurdt opnommen yn R. In bol Polygoon altyd meie wurde ferdield yn ferskate trijehoekjes absolút al de diagonalen, dy't holden ien fan syn hoekpunten.

Angelen bol geometryske foarmen

De Angelen fan in bolle Polygoon - binne hoeken dy't foarme troch de partijen. Binnen hoeken binne yn 'e binnenkant gebiet fan de geometryske figuer. De hoeke dy't wurdt foarme troch har kanten dy't converge op in vertex, neamd 'e hoeke fan' e bolle mearhoeke. Hoeken grinzjend oan it ynterne hoeken fan de geometryske figuer, neamd eksterne. Eltse hoeke fan in bolle Polygoon, oardere binnen is, is:

180 ° - x

dêr't x - wearde bûten hoeke. Dizze ienfâldige formule is fan tapassing foar elk type fan geometryske foarmen sa.

Yn it algemien, want bûten hoeken bestean folgjende regel: elk konveks Polygoon hoeke gelyk oan it ferskil tusken 180 ° en de wearde fan 'e ynterieur hoeke. It kin hawwe wearden fariearjend fan -180 ° oant 180 °. Dus, as de binnenste hoeke is 120 °, it uterlik sil hawwe in wearde fan 60 °.

De som fan de Angelen fan convex Polygons

De som fan it ynterieur Angelen fan in bolle Polygoon wurdt oprjochte troch de formule:

180 ° * (n-2),

dêr't n - tal hoekpunten fan de n-gon.

De som fan de hoeken fan in bolle Polygoon wurdt berekkene frij gewoan. Betink eltse sokke geometryske foarm. Fêst te stellen de som fan de Angelen yn in konveks Polygoon moatte ferbinen ien fan syn hoekpunten nei oare hoekpunten. As gefolch fan dizze aksje draait (n-2) fan 'e trijehoek. It is bekend dat de som fan de Angelen fan in trijehoek is altyd 180 °. Omdat harren oantal yn alle Polygoon lyk oan (n-2), de som fan it ynterieur Angelen fan de figuer is lyk oan 180 ° x (n-2).

Bedrach bol Polygon hoeken, nammentlik, eltse twa neistlizzende ynterne en eksterne hoeken oan harren, yn dizze konveks geometryske figuer sil altyd wêze gelyk oan 180 °. Op grûn dêrfan, kinne wy fêststelle de som fan al syn hoekjes:

180 x n.

De som fan it ynterieur Angelen is 180 ° * (n-2). Accordingly, de som fan al it bûtenste hoeken fan de figuer ynsteld troch de formule:

180 ° * n-180 ° - (n-2) = 360 °.

Som fan de eksterne Angelen fan in konveks Polygoon sil altyd wêze gelyk oan 360 ° (nettsjinsteande it oantal fan syn kanten).

Bûten hoeke fan in bolle Polygoon wurde oer it generaal fertsjintwurdige troch it ferskil tusken 180 ° en de wearde fan 'e ynterieur hoeke.

Oare eigenskippen fan in konveks Polygoon

Neist de basiseigenskippen fan geometryske figueren gegevens, se hawwe ek oare, dy't foarkomme as de behanneljende se. Sa, ien fan polygoanen kinne opsplitst wurde yn meardere bolle n-gons. Om dit te fierder oan elk fan har kanten en snije de geometryske foarm lâns dy rjochte linen. Splits eltse Polygon yn ferskate bol dielen is mooglik en sa dat de boppekant fan elk fan 'e stikken gearfalle mei alle hoekpunten. Ut in geometryske figuer kin hiel simpel te meitsje trijehoeken troch alle diagonalen út ien vertex. Sa, eltse Polygoon, úteinlik, kin ûnderferdield wurde yn in bepaald oantal fan trijehoeken, dat is hiel handich by it oplossen ferskillende taken yn ferbân mei sokke geometryske foarmen.

De perimeter fan de bolle mearhoeke

De segminten fan 'e polyline, Polygoon-neamd partijen, faak oanjûn mei de neikommende letters: ab, BC, cd, de, ea. Dizze kant fan in geometryske figuer mei hoekpunten a, b, c, d, e. De som fan de lingtes fan de kanten fan in bolle Polygoon hjit syn perimeter.

De omtrek fan de mearhoeke

Convex polygoanen meie wurde ynfierd en beskreaun. Circle tangens oan alle kanten fan de geometryske figuer, hjit it op skreaun yn it. Dit Polygon hjit beskreaun. It sintrum sirkel dy't stiet der op skreaun yn de mearhoeke is in punt fan de krusing fan de bisectors fan hoeken binnen in jûn geometryske foarm. It gebiet fan de mearhoeke is lyk oan:

S = p * r,

dêr't r - de striel fan 'e skreau sirkel, en p - semiperimeter dy mearhoeke.

In sirkel mei dêryn it Polygoon hoekpunten, neamd beskreaun tichtby is. Fierder dizze konveks geometryske figuer neamd op skreaun. De sirkel sintrum, dat wurdt beskreaun oer sa'n Polygoon is in saneamde krusing punt midperpendiculars alle kanten.

Diagonaal bol geometryske foarmen

De diagonalen fan in bolle Polygoon - in linestik dat ferbynt net oanswettende hoekpunten. Elts fan harren is binnen dit geometryske figuer. It oantal diagonalen fan de n-gon is ynsteld neffens de formule:

N = n (n - 3) / 2.

It oantal diagonalen fan in bolle Polygoon spilet in wichtige rol yn de legere mjitkunde. It oantal fan trijehoeken (K), dat kin brekke alle konveks Polygoon, berekkene troch de folgjende formule:

K = n - 2.

It oantal diagonalen fan in bolle Polygoon is altyd ôfhinklik fan it oantal hoekpunten.

Ôfskieding fan in konveks Polygoon

Yn guon gefallen, te oplosse mjitkunde taken nedich te brekken in konveks Polygoon yn ferskate trijehoeken mei non-krusende diagonalen. Dit probleem oplost wurde kin troch it fuortsmiten fan in beskate formule.

Defining it probleem: neame rjochter soarte fan ôfskieding fan in bolle n-gon yn ferskate trijehoeken troch diagonalen dy't elkoar kruse allinne by de hoekpunten fan in geometryske figuer.

Oplossing: Stel dat P1, P2, P3, ..., Pn - de top fan de n-gon. Number Xn - it tal fen syn Partitionen. Foarsichtich beskôgje de dêrút diagonaal geometryske figuer Pi Pn. Yn ien fan 'e reguliere Partitionen P1 Pn heart by in bepaalde trijehoeke P1 Pi Pn, wêryn 1

Lit i = 2 is in groep fan regelmjittige Partitionen, altyd befettet diagonale P2 Pn. It oantal Partitionen dy't opnommen binne yn it, lyk oan it oantal Partitionen (n-1) -gon P2 P3 P4 ... Pn. Mei oare wurden, it is lyk oan Xn-1.

As i = 3, dan de oare groep Partitionen sille altyd befetsje in diagonaal P3 P1 en P3 Pn. It oantal krekte Partitionen dy't opnommen yn 'e groep, sil falle gear mei it oantal Partitionen (n-2) -gon P3, P4 ... Pn. Mei oare wurden, dan sil Xn-2.

Lit i = 4, dan de trijehoekjes tusken de krekte partition wurdt bûn te befetsje in trijehoek P1 Pn P4, dat sil adjoin de quadrangle P1 P2 P3 P4, (n-3) -gon P5 P4 ... Pn. It oantal krekte Partitionen sa'n quadrilateral lyk oan X4, en it oantal Partitionen (n-3) -gon is lyk oan Xn-3. Op grûn fan it foargeande, kinne wy sizze dat it totale oantal reguliere Partitionen dy't befette yn dizze groep is lyk oan Xn-3 X4. Oare groepen, dêr't i = 4, 5, 6, 7 ... befetsje sil 4 Xn-X5, Xn-5 X6, Xn-6 ... x7 reguliere Partitionen.

Lit i = n-2, it oantal korrekt Partitionen yn in beskate groep sil falle gear mei it oantal Partitionen yn 'e groep, dêr't i = 2 (yn oare wurden, is lyk oan Xn-1).

Sûnt X1 = X2 = 0, X3 = 1 en X4 = 2, ..., it oantal Partitionen fan bol Polygoon is:

XN = XN-1 + Xn-2 + XN-3, Xn-X4 + X5 + 4 ... + X 5 + 4 XN-Xn-X 4 + 3 + 2 XN-Xn-1.

foarbyld:

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X4 + X5 + X4 + X5 = 14

X7 + X5 = X6 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X7 = x8 + X6 + X4 * X5 + X4 * X5 + X6 + x7 = 132

It oantal krekte Partitionen krusende binnen ien diagonal

By it kontrolearen yndividuele gefallen, kin oannommen wurde dat it oantal diagonalen fan bol n-gon is gelyk oan it produkt fan alle Partitionen fan dizze grafyk patroan (n-3).

It bewiis foar dizze ûnderstelling: stel dat P1n = Xn * (n-3), dan eltse n-gon meie wurde ferdield yn (n-2) is in trijehoek. Yn dat gefal ien fan harren kin steapele (n-3) -chetyrehugolnik. Tagelyk, eltse quadrangle is diagonaal. Sûnt dizze konveks geometryske sifer twa diagonalen kinne útfierd wurde, wat betsjut dat der yn elts (n-3) -chetyrehugolnikah meie fiere ekstra diagonaal (n-3). Op grûn dêrfan, kinne wy konkludearje dat der op eltse goede partition hat in kâns om (n-3) -diagonali gearkomste de easken fan dizze taak.

Area bol Polygons

Faak, by it oplossen ferskate problemen fan legere mjitkunde is der in ferlet om te bepalen it gebiet fan in konveks mearhoeke. Oannimme dat (Xi. Yi), i = 1,2,3 ... n stiet foar in opienfolging fan koördinaten fan alle oanswettende hoekpunten fan de mearhoeke, hawwende gjin sels-krúspunten. Yn dit gefal, syn gebiet wurdt berekkene troch de folgjende formule:

_{S = ½ (Σ (X i} + X i + ₁₎ (Y _{i +} Y _i + _1)),

wêrby't (X _1, Y _{1) = (X n +1, Y} n + _1).