Reguliere polyhedra: eleminten symmetry en gebiet

Geometry is moai, omdat, oars as algebra, dat is net altyd dúdlik wêrom en wat jo tinke, jout in fisueel foarwerp. Dit wûnderlike wrâld fan ferskate ynstânsjes siere it reguliere polyhedra.

Algemiene ynformaasje oer reguliere polyhedra

Neffens in protte, reguliere polyhedrons, of sa't se wurde neamd platoanyske fêste stoffen, besitte unike eigenskippen. Mei dizze foarwerpen ferbûn ferskate wittenskiplike hyptezen. As jo begjinne te bestudearjen fan de geometryske gegevens fan 'e lea, do realisearje dat hast net witte neat oer sa'n begryp as de reguliere polyhedra. De presintaasje fan dy objekten yn 'e skoalle is net altiten nijsgjirrich, safolle net sels tink wat se waarden neamd. Yn oantinken oan de measte minsken is it krekt in kubus. Gjin fan 'e lea mjitkunde net besitte sa'n folsleinens as gewoane polyhedrons. Al de nammen fan dy geometryske lichems ûntstien is út it âlde Grikelân. Sy fertsjintwurdigje it oantal gesichten: it tetraëder - fjouwer-sided, hexahedron - Allen, octahedron - octagon, Fryslà ¢ n folget - dodecahedral, Icosahedron - icosahedral. Allegearre fan dy geometryske lichem in wichtich plak yn Plato syn opfetting fan it hielal. Fjouwer dêrfan binne embodied eleminten of entiteiten: it tetraëder - it fjoer, it Icosahedron - wetter cube - ierde, octahedron - lucht. Fryslà ¢ n folget in lea alle dingen. Hy waard beskôge as de wichtichste, as symboal fan it hielal.

It feralgemienjen fan it konsept fan in polyhedron

Polyhedron is in einige samling fan polygoanen sa dat:

• elts fan 'e kanten fan ien fan' e polygoanen is tagelyk mar ien kant fan oare Polygoon op deselde kant;
• fan elk fan 'e polygoanen kinne jo rinne nei de oare troch passing neistlizzende dêrop Polygons.

Polygoanen constituting de polyhedron fertsjintwurdigje har gesichten en harren kant - ribben. polyhedra hoekpunten binne de hoekpunten fan Polygons. As de term Polygoon begripe plat sluten polylines, dan komme ta deselde definysje fan it polyhedron. Yn it gefal dêr't troch dizze term wurdt bedoeld in part fan it fleantúch dat wurdt begrinze troch brutsen rigels, dan sil begrepen oerflak besteande út polygonal stikken. Bol polyhedron hjit it lichem lizzende oan de iene kant fan it fleantúch, grinzjend oan syn gesichten.

In oare definysje fan in polyhedron en har eleminten

Polyhedron neamd oerflak besteande út polygoanen, dy't limitearret hoefolle geometryske lichem. Se binne:

• net-konveks;
• bolle (rjochts en ferkeard).

Regelmjittich polyhedron - is in konveks polyhedron mei grutst symmetry. Eleminten fan reguliere polyhedra:

• Tetraëder: 6 ribben 4 gesichten 5 hoekpunten;
• hexahedron (kubus) 12, 6, 8;
• Fryslà ¢ n folget 30, 12, 20;
• octahedron 12, 8, 6;
• Icosahedron 30, 20, 12.

Euler syn stelling

It leit in relaasje tusken it oantal rânen, hoekpunten en gesichten wurde topologically lykweardich oan in bol. Taheakjen fan it oantal hoekpunten en gesichten (B + D) hawwe ferskillende reguliere polyhedra en te fergelykjen mei it oantal ribben, is it mooglik om ien regel: de som fan tal gesichten gelyk oan it oantal hoekpunten en rânen (P) tanommen troch 2. It is mooglik om ôfliede in simpele formule:

• B + D = P + 2.

Dit formule is jildich foar alle konveks polyhedra.

basic definysjes

It konsept fan in regelmjittige polyhedron is ûnmooglik om te beskriuwen yn ien sin. It is mear wurdearre en folume. In lichem wurde werkend as sadanich, is it nedich dat it foldocht oan in tal fan definysjes. Sa, in geometryske lichem sil in regelmjittich polyhedron doe't dizze betingsten foldien wurdt:

• it is bol;
• itselde oantal ribben converges by elk fan har hoekpunten;
• alle fasetten fan syn - reguliere polygoanen, gelyk oan inoar;
• Alle dihedral ynfalshoeken binne gelyk.

Eigenskippen fan reguliere polyhedra

Der binne 5 ferskillende soarten reguliere polyhedra:

1. Cube (hexahedron) - It hat in flat apex hoeke is 90 °. It hat in 3-sided hoeke. Bedrach antlit ynfalshoeken wei oan 'e apex fan 270 °.
2. Tetraëder - flat apex hoeke fan - 60 °. It hat in 3-sided hoeke. Bedrach antlit Angelen by it apex - 180 °.
3. Octahedron - flat apex hoeke fan - 60 °. It hat in fjouwer-sided hoeke. Bedrach antlit Angelen by it apex - 240 °.
4. Dodecahedron - een flat apex hoeke fan 108 °. It hat in 3-sided hoeke. Bedrach antlit Angelen by it apex - 324 °.
5. Icosahedron - It hat in platte apex hoeke fan - 60 °. It hat in fiifkantige hoeke. Bedrach antlit ynfalshoeken wei oan 'e apex fan 300 °.

It gebiet fan de reguliere polyhedra

It oerflak fan de geometryske lichems (S) wurdt berekkene as in reguliere Polygoon gebiet fermannichfâldige mei it tal fan fasetten (G):

• S = (a: 2) x 2G ctg π / p.

It folume fan in regelmjittige polyhedron

Dizze wearde wurdt berekkene troch fermannichfâldigjen it folume fan in regelmjittige piramide wêrfan basis is in regelmjittige Polygoon, it tal gesichten, en syn hichte is it op skreaun radius fan de bol (r):

• V = 1: 3rS.

Jiergongen fan reguliere polyhedra

Lykas alle oare geometryske bêst, regelmjittige polyhedra hawwe ferskillende dielen. Hjirûnder binne formules troch dêr't sy kinne:

• Tetraëder: α x 3√2: 12;
• octahedron: α x 3√2: 3;
• Icosahedron; α x 3;
• hexahedron (kubus): α x 5 x 3 x (3 + √5): 12;
• Fryslà ¢ n folget: α x 3 (15 + 7√5): 4.

Eleminten fan reguliere polyhedra

Hexahedron en octahedron binne dual geometryske lichems. Mei oare wurden, se kinne krije út elkoar yn it gefal dat de centroid fan iene wurdt nommen as de top fan 'e oare, en oarsom. Ek binne dual Icosahedron en Fryslà ¢ n folget. Himsels allinne tetraëder is dual. Neffens de metoade fan Euklides kinne jo krije by in Fryslà ¢ n folget hexahedron troch de bou "dakken" op 'e gesichten fan de kubus. De hoekpunten fan it tetraëder binne gjin 4 hoekpunten fan de kubus, net oanlizzende pearen oan de râne. Fan hexahedron (kubus) kinne krigen wurde, en oare reguliere polyhedra. Nettsjinsteande it feit dat reguliere polygoanen binne der ûntelbere, reguliere polyhedra, binne der mar 5.

It radii fan reguliere Polygons

Mei elk fan dy geometryske lichems binne ferbûn konsintryske sfearen 3:

• beskreaun troch de hoekpunten;
• skreau oangeande elk fan har gesichten yn 'e midden fan de saak;
• mediaan oangeande al de rânen yn it midden.

De striel fan de bol beskreaun troch de folgjende formule wurdt berekkene:

• R = a: 2 x tg π / g x tg θ: 2.

De striel fan 'e skreau bol wurdt berekkene as folget:

• R = a: 2 x ctg π / p x tg θ: 2,

dêr't θ - dihedral hoeke dat tusken oanlizzende fasetten.

De mediaan radius fan de bol mei berekkenje kinne mei help fan de folgjende formule:

• ρ = a cos π / p: 2 sin π / h,

dêr't h = de omfang fan 4.6, 6.10, of 10. De ferhâlding fan it radii fan 'e skreau beskreaun en symmetrysk mei respekt om te p en q. It wurdt berekkene as folget:

• R / r = tg π / p x tg π / q.

De symmetry fan polyhedra

De symmetry fan it reguliere polyhedra is fan primêre belangstelling foar dizze geometryske organen. It wurdt opfette as in beweging fan it lichem yn in romte, dêr't ferlit itselde oantal hoekpunten, gesichten en rânen. Mei oare wurden, ûnder de ynfloed fan symmetry transformaasjes râne, vertex, of antlit behâldt syn oarspronklike posysje, of beweecht nei it hûs posysje fan in oar rib, de oare hoekpunten of gesichten.

Eleminten fan symmetry fan it reguliere polyhedra binne mienskiplik foar alle soarten fan geometryske fêste stoffen. Hjir wurdt it útfierd op 'e identiteit transformaasje, dy't ferlit ien fan de punten yn de oarspronklike posysje. Dus, as jo keare de polygonal prisma kinne krije wat symmetries. Ien fan harren kin wurde fertsjintwurdige as it produkt fan refleksje. Symmetry, dat is it produkt fan in noch tal Beskôgings, neamd direkte. As it is it produkt fan in ûneven oantal Beskôgings, dan wurdt it neamd feedback. Sa, alle bochten om 'e line fertsjintwurdigje rjochte symmetry. Any refleksje polyhedron - is de ynverze symmetry.

Om better begripe de symmetry eleminten fan 'e reguliere polyhedra, kinne jo nimme it foarbyld fan' e tetraëder. Eltse rigel dat sil troch ien fan de hoekpunten en it sintrum fan 'e geometryske foarm, sil plakfine, en troch it sintrum fan' e râne tsjinoer oan it. Elk fan 'e bochten 120 en 240 ° rûnom de line heart ta de meartal tetrahedral symmetry. Sûnt it 4 hoekpunten en gesichten, wy krije in totaal fan acht direkte symmetries. Ien fan 'e linen passing troch it midden fan' e rânen en it sintrum fan 'e lea, dat rint troch de midden fan' e tsjinoerstelde râne. Eltse rotaasje fan 180 °, neamd in heal-bar om in rjochte symmetry. Sûnt de tetraëder hat trije pearen fan de ribben, krije jo trije rigels fan symmetry. Op grûn fan it boppesteande, kinne wy konkludearje dat it totale oantal direkte symmetry, en ynklusyf de identiteit transformaasje, sil oant tolve. Oare direkte symmetry tetraëder bestiet net, mar it hat 12 omkearde symmetry. Dus, mar 24 karakterisearre tetraëder symmetries. Foar de dúdlikens, kinne wy bouwe in model fan in regelmjittige tetraëder makke fan karton en meitsje oft it is de geometryske lichem echt hat mar 24 symmetry.

Dodecahedron en Icosahedron - tichtst by it lichem gebiet. Icosahedron hat de grutste oantal gesichten, de dihedral hoeke en it measte fan alle kin strak oanhingje de skreau sfear. Dodecahedron hat de leechste angular defect grutste bêst hoeke by de vertex. It kin maksimalisearje te foljen yn de beheinde sfear.

skennen polyhedra

Reguliere polyhedra scan, dêr't wy allegearre fêst byinoar yn bernetiid, hawwe in protte begripen. As der in set fan polygoanen, eltse kant dêrfan wurdt identifisearre mei mar ien kant fan 'e polyhedron, de identifikaasje fan' e partijen moatte foldwaan oan twa betingsten:

• fan eltse Polygon, kinne jo gean nei in Polygoon hawwende de identifikaasje fan 'e kant;
• identifisearbere kant moatte hawwe deselde lingte.

It is in set fan polygoanen dy't foldogge oan dizze betingsten, en hjit in polyhedron scan. Elk fan dy organen hat ferskate fan harren. Bygelyks, in kubus wêrfan der 11 stikken.