De teory fan de wierskynlikheidsrekkening. Kâns op in barren, út en troch barren (kâns teory). Ûnôfhinklike en ûnferienichber ûntwikkelings yn de teory fan de kâns

It is net wierskynlik dat in soad minsken tinke dat it mooglik is om te tellen eveneminten, dy't foar in part tafallich. Om it yn ienfâldige wurden, is it realistysk om te witten hokker kant fan de kubus yn de dobbelstiennen sille falle folgjende kear. It wie dizze fraach te freegje twa grutte wittenskippers, de basis lein foar dizze wittenskip, de teory fan de wierskynlikheidsrekkening, de kâns fan it evenemint dêr't de bestudearre wiidweidich genôch.

generaasje

At jo besykje om te bepalen sa'n begryp as de teory fan kâns, wy krije it neikommende: dat is ien fan 'e tûken fan de wiskunde dy't bestudearret de constancy fan willekeurige eveneminten. Dúdlik, dit konsept echt net reveal de essinsje, dus jo moatte beskôgje it yn mear detail.

Ik soe graach begjinne mei de grûnlizzers fan de teory. As waard neamd hjirboppe, der wienen twa, dat Per ferma en Blez Paskal. Se wienen de earste besocht mei help fan formules en wiskundige berekkeningen te berekkenjen de útkomst fan in evenemint. Yn it algemien, de bigjinsels fen dizze wittenskip is sels yn 'e Midsieuwen. Wylst ferskate tinkers en wittenskippers hawwe besocht te analysearjen it kasino games lykas roulette, Craps, ensafuorthinne, dêrmei om te kommen ta in patroan, en it persintaazje ferlies fan in nûmer. De stifting waard ek lein yn 'e santjinde ieu wie it de earder neamde gelearden.

Ynearsten, harren wurk koe net wurde taskreaun oan de grutte fertsjinsten op dit mêd, nei alles, wat se diene, hja wienen gewoan empiryske feiten en eksperiminten wiene dúdlik sûnder help fan formules. Nei ferrin fan tiid, dat draaide om te kommen ta grutte resultaten, dy't ferskynde as gefolch fan observaasje fan 'e cast fan' e bonken. It is dit ynstrumint hat holpen te bringen de earste ûnderskieden formule.

supporters

Net te ferjitten sa'n man lykas Christiaan Huygens, yn it proses fan it bestudearjen fan de ûnderwerp dat draacht de namme fan "kâns teory" (kâns fan it evenemint beljochtet it yn dizze wittenskip). Dizze persoan is tige nijsgjirrich. Hy, likegoed as wittenskippers presintearre hjirboppe binne besocht yn 'e foarm fan wiskundige formules te ôfliede in patroan fan willekeurige eveneminten. It is opmerklik dat er net diel it mei Pascal en Fermat, dat is al syn wurk net oerlaapje mei dy koppen. Huygens ôflaat de basis konsepten fan wierskynlikheidsrekkening.

In nijsgjirrich feit is dat syn wurk kaam lang foardat de útkomsten fan 'e wurken fan' e pioniers, om krekt te wêzen, tweintich jier earder. Der binne allinne ûnder de begripen konstatearre wiene:

• as it begryp kâns wearden chance;
• ferwachting foar de diskrete gefal;
• stellingen fan oanfolling en fermannichfâldigjen fan kânsen.

Ek, men kin net ferjitte Yakoba Bernulli, dy't ek bydroegen ta de stúdzje fan it probleem. Troch harren eigen, net ien fan wa binne ûnôfhinklike tests, hy wie by steat om te foarsjen bewiis fan 'e wet fan' e grutte oantallen. Yn beurt, wittenskippers Bonhomme en Laplace, dy't wurke yn de iere njoggentjinde ieu, wienen by steat om te bewizen de oarspronklike stelling. Fan dat momint te analysearje flaters yn de waarnimmings we begûn mei help wierskynlikheidsrekkening. Partij om dizze wittenskip koe net en Russyske wittenskippers, leaver Markov, Chebyshev en Dyapunov. Se binne basearre op it wurk dien grutte sjenyen, boarge it ûnderwerp as in tûke fan de wiskunde. Wy wurke dy figueren oan 'e ein fan' e njoggentjinde ieu, en tank oan harren bydrage, binne bewiisd ferskynsels lykas:

• wet fan grutte oantallen;
• Teory fan Markov keatlingen;
• De sintrale limyt stelling.

Sa, de skiednis fan 'e berte fan' e wittenskip en mei it grutte persoanlikheden dy't bydroegen ta it, alles is mear of minder dúdlik. No is it tiid om flêsk út alle feiten.

basic konsepten

Foardat jo oanreitsje de wetten en stellingen moatte leare de basis konsepten fan wierskynlikheidsrekkening. Evenemint dat ynnimt in dominante rol. Dit ûnderwerp is earder wiidweidich, mar sil net by steat wêze om te begripen al it oare sûnder it.

Evenemint yn kâns teory - dat Eltse set útkomsten fan it eksperimint. Begripen fan dit ferskynsel is der net genôch. Sa, ROOIJ wittenskipper wurkje yn dit gebiet, hat útsprutsen, dat yn dit gefal hawwe wy it oer wat "bard, alhoewol't it koe net barre."

Random barren (wierskynlikheidsrekkening betellet spesjaal omtinken foar harren) - is in konsept dat giet perfoarst eltse ferskynsel hawwende de mooglikheid om te foarkomme. Of, krekt oarsom, dit senario kin net bart yn de útfiering fan in ferskaat fan betingsten. It is ek te witten dat besetten de hiele folume fan de ferskynsels foarkommende krekt willekeurig eveneminten. Wierskynlikheidsrekkening suggerearret dat alle betingsten kin werhelle wurde hieltyd. It is harren gedrach is neamd "ûnderfining" of "test."

Wichtige barren - dat is in ferskynsel dat is ien hûndert prosint yn dizze test happen. Accordingly, it ûnmooglike evenemint - dit is eat dat net bart.

Kombinearjen twatallen Aksje (konvinsjoneel it gefal A en gefal B) is in ferskynsel dat foarkomt tagelyk. Se wurde oantsjut as AB.

It bedrach fan pearen fan eveneminten A en B - C is, mei oare wurden, as op syn minst ien dêrfan sil (A of B), krije jo in C. De formule beskreaun ferskynsel wurdt skreaun as C = A + B.

Ûnferienichber ûntwikkelings yn 'e teory fan' e kâns ymplisearret dat de twa gefallen binne ûnderling eksklusyf. Tagelyk binne se yn alle gefallen kin net foarkomme. Mienskiplike eveneminten yn kâns teory - dat is har antipode. It oanbefelingen is dat as A bard, is net steane C.

Ferset tsjin it evenemint (wierskynlikheidsrekkening achtet se yn grutte detaillearre), binne maklik te ferstean. It is it bêste om te gean mei harren yn ferliking. Se binne hast itselde as net te ferienigjen ûntwikkelings yn de teory fan de wierskynlikheidsrekkening. Lykwols, harren ferskil is dat ien fan in mearfâldichheid fan ferskynsels yn alle gefallen moatte foarkomme.

Like wierskynlik events - dy aksjes, de mooglikheid fan herhelling is gelyk. Om meitsje it dúdlik, kinne jo yntinke Tossing in munt: ferlies fan ien fan syn kanten is like wierskynlike ferlies oar.

it is makliker te beskôgje it foarbyld fan begeunstiging fan it evenemint. Stel, der is in episoade yn de ôflevering A. De earste - een roll fan in die mei de komst fan in ûneven getal, en de twadde - it oansjen fan de nûmer fiif op de dobbelstiennen. Dan docht bliken dat A is befoarrjochte V.

Independent foarfallen yn wierskynlikheidsrekkening wurde projektearre allinnich op twa of mear gelegenheden en belûke ûnôfhinklik fan in hanneling út it oare. Bygelyks, A - at ferlies tails coin Tossing, en B - dostavanie jack út it dek. Se hawwe ûnôfhinklike eveneminten yn wierskynlikheidsrekkening. Fan dat stuit waard it dúdlik.

Ôfhinklike eveneminten yn kâns teory is ek tastien allinne foar harren set. Se importoer ôfhinklikheid fan iene op 'e oare, dat is, it ferskynsel kin barre yn allinnich yn it gefal doe't A hat al bard of, krekt oarsom, net barre as it is - it wichtichste betingst foar B.

De útkomst fan it samar eksperimint besteande út ien komponint - it is elemintêre eveneminten. Kâns teory seit dat it om in ferskynsel dat wurdt dien mar ien kear.

basis formule

Sa, it boppesteande waarden beskôge it begryp "event", "kâns teory", definysjes fan kaai termen fan dizze wittenskip waard ek jûn. No is it tiid om te fertroud himsels mei it wichtige formules. Dy uterings wurde wiskundich befêstige al de wichtichste begripen yn sa'n dreech ûnderwerp as de teory fan de wierskynlikheidsrekkening. Kâns op in barren en spilet in grutte rol.

Better om te begjinne mei it basis formules fan combinatorics. En foar't jo begjinne se, it is de muoite wurdich sjoen wat it is.

Combinatorics - is foaral in tûke fan de wiskunde, hat er studearre in grutte oantal integers, en ferskate permutaasjes werom fan sawol de sifers en harren eleminten, ferskate gegevens, ensfh, liedt ta in oantal kombinaasjes ... Njonken de teory fan de wierskynlikheidsrekkening, dizze sektor is wichtich foar de statistiken, computer wittenskip en kryptografyske.

Sa no kinne jo pleatse harren foar de presintaasje fan harsels en har definysje formules.

De earste fan dy is de útdrukking foar it oantal permutaasjes werom, it is as folget:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2) ... 3 2 ⋅ ⋅ 1 = n!

Fergeliking jildt allinnich yn it gefal as de eleminten ferskille allinnich yn 'e folchoarder fan' e regeling.

No pleatsing formule, liket it dit wurdt beskôge:

A_n ^ m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = N! : (N - m)!

Dizze útdrukking is fan tapassing net allinne nei de ienige elemint fan oarder placement, mar ek nei syn komposysje.

De tredde fergeliking fan combinatorics, en it is de lêste, neamd de formule foar it oantal kombinaasjes:

C_n ^ m = n! : ((N - m))! : M!

Kombinaasje hjit sampling, dy't net oardere, respektivelik, ta en tapast dizze regel.

Mei de formules fan combinatorics kamen te begripen maklik, kinne jo no gean nei de klassike definysje fan de wierskynlikheidsrekkening. It seach der útdrukking as folget:

P (A) = m: n.

Yn dizze formule, m - is it oantal betingsten befoarderlik foar it evenemint A, en n - oantal gelikense en hielendal alle elemintêre eveneminten.

Der binne in soad uteringen yn it artikel wurde net beskôge neat, mar beynfloede sil de meast wichtige lju sa as, bygelyks, de kâns eveneminten bedrage:

P (A + B) = P (A) + P (B) - dizze stelling foar it taheakjen allinne ûnderling eksklusive eveneminten;

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) - mar dit is allinnich foar it taheakjen kompatibel.

De kâns fan it evenemint wurken:

P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B) - dizze stelling foar ûnôfhinklike eveneminten;

(P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B | A); P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (A | B)) - en dat foar de ôfhinklik.

Einige list fan eveneminten formule. De teory fan 'e kâns fertelt ús stelling Bayes, dat sjocht der sa út:

P (H_m | A) = (P (H_m) P (A | H_m)): (Σ_ (k = 1) ^ n P (H_k) P (A | H_k)), m = 1, ..., n

Yn dizze formule, H _1, H _2, ..., H _n - is in folsleine set fan hyptezen.

Op dit stop, fan gebrûk formules tapassing sille no beskôge wurde foar spesifike taken út de praktyk.

foarbylden

As jo sekuer studearje eltse tûke fan de wiskunde, is it net sûnder oefeningen en foarbyldsinnen oplossingen. En de teory fan de wierskynlikheidsrekkening: foarfallen, foarbylden hjir binne in yntegraal ûnderdiel fan befêstiget wittenskiplike berekkenings.

De formule foar it oantal permutaasjes werom

Bygelyks, yn in kaart dek hawwe tritich kaarten, begjinnend mei it nominale ien. Folgjende fraach. Hoefolle manieren om fold it dek sadat de kaartsjes mei in gesicht wearde fan ien en twa waarden net leit neist?

De taak wurdt ynsteld, no litte wy fierder om te gean mei. Earst jo moatte bepale it oantal permutaasjes werom fan tritich eleminten, foar dit doel wy nimme de boppesteande formule, it draait P_30 = 30!.

Op grûn fan dizze regel, wy witte hoefolle opsjes binne der te foarsjen yn it dek op in soad manieren, mar we moatte wurde ferrekkene harren binne dy dêr't de earste en twadde kaart sil neist. Om dit te begjinne mei in fariant, doe't de earste leit op de twadde. It docht bliken dat de earste kaart kin nimme tweintich-njoggen plakken - út 'e earste oant' e tweintich-njoggende, en de twadde kaart fan it twadde nei it thirtieth, turns tweintich njoggen sitten foar pearen fan kaarten. Yn beurt, de oaren kinne nimme tweintich-acht sitten, en yn alle oarder. Dat is, foar de rearrangement fan de acht en tweintich kaarten hawwe tweintich acht opsjes P_28 = 28!

It resultaat is dat as wy beskôgje it beslút, doe't de earste kaart stiet op de twadde ekstra mooglikheid te krijen 29 ⋅ 28! = 29!

Mei help fan deselde metoade, jim moatte berekkenjen fan it oantal oerstallich opsjes foar it gefal as de earste kaart leit ûnder de twadde. Ek krigen 29 ⋅ 28! = 29!

Ut dit dan folget dat de ekstra opsjes 2 ⋅ 29!, Wylst de needsaaklike middels fan it sammeljen fan it dek 30! - 2 ⋅ 29!. It bliuwt allinne mar te berekkenjen.

30! = 29! ⋅ 30; 30 - 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

No we moatte fermannichfâldigje elkoar al fan de nûmers fan ien oant tweintich-njoggen, en dan oan 'e ein fan alle fermannichfâldige troch 28. It antwurd krigen 2,4757335 ⋅ 〖〗 10 ^ 32

Foarbylden fan oplossings. De formule foar it oantal akkommodaasjes

Yn dit probleem, jo moatte útfine hoefolle binne der manieren om de fyftjin dielen op in planke, mar ûnder it betingst dat mar tritich dielen.

Yn dizze taak, it beslút in bytsje makliker as de foarige. Mei help fan de al bekende formule, is it nedich om te berekkenjen fan it totaal oantal fan tritich lokaasjes fyftjin dielen.

A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ ... ⋅ 28⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Antwurd, respektivelik, sil gelyk oan 202 843 204 931 727 360 000.

No nimme de opjefte in bytsje dreger. Jo moatte witte hoefolle binne der manieren te regeljen de tritich-twa boeken op 'e planken, mei it betingst dat mar fyftjin dielen kinne wennet op deselde planke.

Foardat it begjin fan it beslút soe graach ferdúdlikjen dat guon fan 'e problemen kinne oplost wurde op ferskate manieren, en yn dit binne der twa wizen, mar yn beide ien en deselde formule wurdt tapast.

Yn dizze taak, dan kinne jo nimme it antwurd út 'e foarige iene, want dêr ha wy berekkene it oantal kearen kinne jo ynfolje de planke foar fyftjin boeken yn ferskillende wizen. It draaide A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16.

De twadde rezjimint berekkene troch de formule reshuffle, omdat it yn pleatst wurdt fyftjin boeken, wylst de rest fan fyftjin. Wy brûke formule P_15 = 15!.

It docht bliken dat de som sil A_30 ^ 15 ⋅ P_15 manieren, mar, neist, it produkt fan alle nûmers út tritich oant sechtjin soe formannichfâldige wirde troch it produkt fan 'e nûmers fan ien oant fyftjin, yn' e ein keare út it produkt fan alle nûmers fan ien oant tritich, dat is it antwurd is 30!

Mar dit probleem oplost wurde kin op in oare wize - makliker. Om do dit, kinne jo yntinke dat der ien plank voor tritich boeken. Alle dêrfan wurde pleatst op dizze fleantúch, mar omdat de betingst fereasket dat der wiene twa planken, ien lange wy Säge- yn de helte, twa bochten fyftjin. Ut dit blijkt dat foar dizze regeling kin wêze P_30 = 30!.

Foarbylden fan oplossings. De formule foar it oantal kombinaasjes fan

Wa wurdt beskôge as in fariant fan 'e tredde probleem fan combinatorics. Jo moatte witte hoefolle wizen der binne te regeljen fyftjin boeken op it betingst dat jo moatte kieze út tritich krekt itselde.

Foar it beslút sil, fansels, jilde de formule foar it oantal kombinaasjes. Ut de betingst dat it wurdt dúdlik dat de folchoarder fan 'e deselde fyftjin boeken is net wichtich. Dus ynearsten je moatte útfine it totaal oantal kombinaasjes fan tritich fyftjin boeken.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155117520

Dat is alles. Mei help fan dizze formule, yn de koartste tiid mooglik te lossen sa'n probleem, it antwurd, respektivelik, gelyk oan 155.117.520.

Foarbylden fan oplossings. De klassike definysje fan kâns

Mei help fan de formule jûn boppe, men kin fine in antwurd yn in ienfâldige taak. Mar it sil dúdlik sjen en folgje de rin fan 'e aksje.

De opdracht jûn, dat yn in urn binne der tsien hielendal gelyk ballen. Dêrfan binne fjouwer giele en seis blau. Taken út de urn iene bal. It is needsaaklik om te witten de kâns dostavaniya blau.

Oplosse it probleem is it nedich om te wizen dostavanie blauwe bal evenemint A. Dit ûnderfining hawwe tsien útkomsten, dy't, yn in bar, de legere en like wierskynlik. Yn deselde tiid, seis fan de tsien binne geunstich is foar it evenemint A. Solve de folgjende formule:

P (A) = 6: 10 = 0.6

Tapassen fan dizze formule, wy hawwe leard dat de mooglikheid dostavaniya blauwe bal is 0.6.

Foarbylden fan oplossings. De kâns dat eveneminten bedrach

Wa sil in fariant dy't wurdt oplost troch mei de formule fan de kâns dat eveneminten bedrach. Sa, sjoen it betingst dat der twa gefallen, de earste in griis en fiif wite ballen, wylst it twadde - acht griis en fjouwer wite ballen. As gefolch, de earste en twadde fakjes hawwe nommen op ien fan harren. It is nedich om te finen wat binne de kâns dat miste de ballen binne griis en wyt.

Oplosse dit probleem, is it nedich om te identifisearjen it evenemint.

• Sa, A - wy hawwe in grize bal fan 'e earste doaze: P (A) = 1/6.
• A '- wite Zwiebel ek nommen út' e earste doaze: P (A ') = 5/6.
• De - al extracted griis bal fan de twadde conduit: P (B) = 2/3.
• B '- naam in griis bal fan de twadde drawer: P (B') = 1/3.

Neffens it probleem is it nedich dat ien fan 'e ferskynsels barde: AB' of 'B. Mei help fan de formule, wy krije: P (AB ') = 1/18, P (A'B) = 10/18.

No de formule fan fermannichfâldigjen de kâns waard brûkt. Neist, te finen út it antwurd, dan moatte passen harren fergeliking adding:

P = P (AB '+ A'B) = P (AB') + P (A'B) = 11/18.

Dat is hoe, mei help fan de formule, kinne jo oplosse sokke problemen.

resultaat

It papier waard presintearre oan de ynformaasje op "kâns teory", de kâns fan foarfallen dy't spylje in wichtige rol. Fansels, net alles is beskôge, mar op grûn fan 'e tekst presintearre, kinne jo teoretysk' e kunde komme mei dizze tûke fan de wiskunde. Beskôge wittenskip kin wêze handich net allinnich yn 'e profesjonele bedriuw, mar ek yn it deistich libben. Jo kinne it brûke om te berekkenjen gjin mooglikheid fan in evenemint.

De tekst waard ek beynfloede troch signifikante data yn 'e skiednis fan' e ûntwikkeling fan de wierskynlikheidsrekkening as wittenskip, en de nammen fan minsken waans wurken binne set yn it. Dat is hoe minsklike nijsgjirrigens hat laat ta it feit dat minsken hawwe leard om te tellen, ek willekeurig eveneminten. Sadree't se krekt ynteressearre yn dit, mar hjoed is it al bekend oan allegearre. En net ien kin sizze wat bart der mei ús yn 'e takomst, wat oare briljant fynsten yn ferbân mei de teory yn behanneling, soe wêze ynsette. Mar ien ding is foar wis - de stúdzje noch is it net wurdich!